Pemodelan Sistem – Tugas 3

Kita sudah membahas pemodelan dan simulasi di tugas-tugas sebelumnya. Untuk mengetahui sistem yang bekerja dari asumsi-asumsi yang dibuat dimana biasanya asumsi tersebut berhubungan dengan logik dan matematika  maka dibutuhkan  distribusi probabilitas( yang mana ditentukan sebagai bagian dari model simulasi.

Berikut adalah jenis-jenis distribusi:
Binomial, Poisson, Discrete Uniform, Weibull, Uniform, Exponential, m-Erlang, Geometric, Bernoulli, Gamma, Negative Binomial, Gauss.
a. Kelompokkan distribusi tersebut ke jenis distribusi diskret atau kontinyu.
b. Dari masing-masing jenis (diskret atau kontinyu) jelaskan minimal 2 jenis distribusi. Penjelasan distribusi meliputi: contoh penjelasan dan karakteristik, contoh (dapat disertai gambar grafik)

Distribusi dikelompokkan menjadi 2 jenis yaitu diskrit dan kontinyu atau discrete and continuous.

I. DISTRIBUSI DISKRIT

Distribusi diskrit adalah distribusi dimana variabel state berubah hanya pada sejumlah titik waktu tertentu yang dapat dihitung. Titik-titik dalam waktu ini adalah ketika di mana peristiwa itu terjadi.

Karakteristik dari distribusi diskrit adalah

a.f(x) ≥ 0

b. ∑ f (x) = 1

c. P (X=x) = f(x)

Contoh pada distribusi ini ada beberapa jenis yaitu Binomial, Poisson, Discrete Uniform, Geometric, Bernoulli, Negative Binomial.

a. Bernoulli

Adalah jenis distribusi yang mempunyai karakteristik dalam percobaannya hanya mempunyai 2 kemungkinan saja dan dilakukan 1 kali.

Contoh:

Sebuah dadu diundi, jika diketahui munculnya angka 2 atau 4 dikatakan sukses, tentukan fungsi peluangnya.

P(sukses)= P(muncul angka 2 atau 4) = 2/6 = 1/3

b. Binomial

Adalah jenis distribusi yang berdasar dari distribusi Bernoulli. Distribusi binomial adalah distribusi yang menghitung jumlah sukses percobaan dalam n kali trial. Distribusi ini memiliki karakteristik sebagai berikut

• Percobaan dilakukan n kali
• Tiap percobaan memiliki 2 kemungkinan saja  yaitu sukses atau gagal (bernoulli)
• Peluang sukses (p) pada setiap percobaan adalah konstan
• Pengulangan percobaan harus bebas (independent) satu sama lain, artinya hasil eksperimen yang satu tidak mempengaruhi hasil eksperimen yang lainnya.

Contoh:

Pada perusahaan A, 20% karyawannya dikategorikan sebagai pekerja yang baik. Jika dipilih 15 karyawan secara acak, berapa peluang 4 orang berkategori baik?

n = 15 ; P= 0.2

c. Geometric

Adalah jenis distribusi dimana melakukan pengamatan pada kejadian sukses pertama. Pada distribusi ini, memiliki karakteristik sebagai berikut.

• Percobaan dilakukan beberapa kali hingga kejadian sukses yang pertama diperoleh.

Contoh:

1 set kartu (52 buah) dikocok, satu kartu diambil secara acak dan ada pengembalian. Pengambilan dianggap sukses jika diperoleh kartu “AS”. Berapa peluang bahwa kartu “AS” baru didapat pada pengambilan ke 10?

 

II. DISTRIBUSI KONTINYU

Distribusi kontinyu adalah jenis distribusi dimana variable berubah secara terus-menerus dan dengan jumlah yang tidak terbatas atau ruang sampelnya tak terhingga banyaknya.

Karakteristik distribusi ini adalah

Yang termasuk pada distribusi ini antara lain Weibull, Uniform, Exponential, m-Erlang, Gamma, dan Gauss atau sering disebut normal.

a. Uniform

Adalah jenis distribusi dimana peluangnya sama antar batas waktu tertentu muncul dalam situasi dimana semua nilai dalam selang / interval tertentu mempunyai peluang yang sama untuk muncul.

Gambar

Contoh

Seseorang berjalan dari rumah ke tempat kerja setiap hari menghabiskan waktu antara 20-27 menit. Jika ia harus masuk kantor  jam 9.00 dan meninggalkan rumah pukul 8.37, berapa peluang dia tiba dikantor tepat waktu?

b. Eksponensial

Distribusi Eksponensial memiliki pertalian erat dengan distribusi Poisson. Jika pada Poisson, peubah acak poisson X menggambarkan jumlah keluaran yang terjadi pada suatu selang waktu atau luas daerah tertentu, maka peubah acak Eksponensial X menggambarkan panjang rentang waktu antara suatu kejadian dengan kejadian lainnya.

Gambar grafik distribusinya dapat dilihat pada gambar di bawah

Bila x adalah variable acak eksponensial dengan parameter λ yang terdefinisi pada selang (0 , ∞), maka fungsi peluangnya adalah sebagai berikut

Contoh

3 bulan sekali ada 1 kali gempa. Peluang bahwa gempa selanjutnya terjadi 3-7 bulan kedepan adalah:

c. Gauss / Normal

Adalah distribusi yang memiliki bentuk kurva seperti lonceng seperti gambar dibawah ini.

Dari gambar diatas, distribusi normal memiliki beberapa karakteristik yait:

• Modus terletak pada x=μ (puncak)
• Simetrik di x = μ
• F(x) ≥ 0 untuk semua x

 

DATA SET A

Pada hasil analisis data set a yang merupakan jenis data diskrit, mendapatkan hasil bahwa data set a merupakan jenis ditribusi Poisson. Karena nilai goodness of fit pada 2 algoritma menunjukan nilai terkecil pada distribusi Poisson. Yaitu pada algotima Kolmogorov Smirnov mendapatkan nilai 0.2987 dan algoritma Anderson Darling 21.531 dan dapat diihat pula pada hasil grafik Probability Density Functionnya

Contoh Kasus :

distribusi poisson dapat diimplementasikan pada yang memiliki peluang kecil misalnya kasus telepon salah sambung. misalnya rata-rata jumlah salah sambung yang diterima sebuah rumah 7 kali perminggu maka peluang bahwa besok rumah tersebut akan menerima 2 kali salah sambung dapat dihitung dengan model distribusi ini

 

DATA SET B

Pada hasil analisis data set b yang merupa kan  jenis data continuous mendapatkan hasil bahwa data set b merupakan jenis ditribusi Johnson SB. Karena nilai goodness of fit pada 3 algoritma menunjukan nilai terkecil pada distribusi Johnson SB. Yaitu pada algotima Kolmogorov Smirnov mendapatkan nilai 0.03458 , algoritma Anderson Darling 0.2655 dan chi-Squared dengan nilai 4.323 dan dapat di lihat pula pada hasil grafik Probability Density Functionnya

 

DATA SET C

Pada hasil analisis data set c yang merupa kan  jenis data continuous mendapatkan hasil bahwa data set c merupakan jenis ditribusi Kumaraswamy. Karena nilai goodness of fit pada 3 algoritma menunjukan nilai terkecil pada distribusi Kumaraswamy. Yaitu pada algotima Kolmogorov Smirnov mendapatkan nilai 0.03712  dan chi-Squared dengan nilai 4.0943 sedangkan untuk algoritma Anderson Darling menunjukan nilai terkecil pada distribusi Dagum(4P) dengan nilai 0.23367 dan dapat di lihat pula pada hasil grafik Probability Density Functionnya.

Contoh Kasus

Sebuah contoh yang baik dari penggunaan distribusi Kumaraswamy adalah volume penyimpanan reservoir kapasitas zmax yang batas atas adalah zmax dan batas bawah adalah 0

DATA SET D

Pada hasil analisis data set d yang merupakan jenis data diskrit, mendapatkan hasil bahwa data set d merupakan jenis ditribusi Poisson dan Binomial. Hal karena nilai goodness of fit pada 2 algoritma menunjukan perbedaan nilai terkecil pada 2 distribusi yaitu Poisson dan Binomial. Yaitu pada algotima Kolmogorov Smirnov mendapatkan nilai 0.15302 pada distribusi Binomial dan algoritma Anderson Darling 5.2964 pada distribusi Poisson. Dan dapat diihat pula pada hasil grafik Probability Density Functionnya

Contoh Kasus :

distribusi poisson dapat diimplementasikan pada yang memiliki peluang kecil misalnya kasus telepon salah sambung. misalnya rata-rata jumlah salah sambung yang diterima sebuah rumah 7 kali perminggu maka peluang bahwa besok rumah tersebut akan menerima 2 kali salah sambung dapat dihitung dengan model distribusi ini

 

DATA SET E

 

Pada hasil analisis data set e yang merupakan jenis data diskrit, mendapatkan hasil bahwa data set e merupakan jenis ditribusi D.Uniform . Karena nilai goodness of fit pada 2 algoritma menunjukan nilai terkecil pada distribusi D.Uniform. Yaitu pada algotima Kolmogorov Smirnov mendapatkan nilai 0.09 dan algoritma Anderson Darling 21.361 dan dapat diihat pula pada hasil grafik Probability Density Functionnya

Contoh Kasus :

Suatu bacth produk terdiri dari nomor serial, dengan nomor urut pertama terdiri dari 0 sampai dengan 9. Jika salah satu produk diambil secara acak, maka X adalah munculnya nomor serial dengan angka

pertama tersebut masing-masing nomor  (R={0,1,2,…,9) memiliki peluang 0,1

 

DATA SET F

Pada hasil analisis data set b yang merupa kan  jenis data continuous mendapatkan hasil bahwa data set b merupakan jenis ditribusi Gen. Gamma (4P). Karena nilai goodness of fit pada 3 algoritma menunjukan nilai terkecil pada distribusi Gen. Gamma (4P). Yaitu pada algotima Kolmogorov Smirnov mendapatkan nilai 0.02418 , algoritma Anderson Darling 0.13175 dan chi-Squared dengan nilai 1.9562 dan dapat di lihat pula pada hasil grafik Probability Density Functionnya

Contoh Kasus

distribusi gengamma ini diimplementasikan pada R yaitu sebuah bahasa pemrograman dan software yang dikhususkan pada pengulahan statistik dan grafik khususnya pada package flexsurv

 Refrensi :

http://resources.esri.com/help/9.3/ArcGISEngine/java/Gp_ToolRef/process_simulations_sensitivity_analysis_and_error_analysis_modeling/distributions_for_assigning_random_values.htm

materi probstat Telkom University 2013/2014